[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.��3.ZMIENNE LOSOWE I DYSTRYBUANTY3.1.OkreśleniaNiech &!, S, P będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną.Definicja 1.Zmienną losową (ZL) nazywamy funkcję mierzalną � = �(�) od-wzorowującą zbiór zdarzeń elementarnych &! w zbiór liczb rzeczywistych R , tj.funkcję, dla której przeciwobraz {�: �(�)" B} dowolnego zbioru borelowskiegoB�"R jest zbiorem należącym do � -ciała S.W takim przypadku mówimy, że zmien-na losowa (funkcja) � realizuje odwzorowanie mierzalne przestrzeni &!, S w prze-strzeń R, B , gdzie B jest � -ciałem zbiorów borelowskich na prostej rzeczywistej R.Np.przy jednokrotnym rzucaniu monetą zbiór &! składa się z dwóch punktów:orła i reszki.Jeżeli orłowi przyporządkujemy 1, a reszce 0, to oczywiście otrzymamyzmienną losową (ZL).ZL jest także liczba oczek wypadających na kostce sześciennej.Odległość od początku układu współrzędnych do losowo rzuconego punktu wkwadrat [0d"xd"1; 0d"yd"1] jest także ZL, gdyż zbiór {(x, y) : x2+y20, =1."pkkJest oczywiste, że rozkład dyskretny {pk} zawsze można określić na dyskretnejprzestrzeni probabilistycznej.Takie rozkłady często można charakteryzować za po-mocą tablic następującego typu:Wartości x1 x2.Prawdopodobieństwa p1 p2.Do tego typu należą rozkłady Ia , Bn , �� oraz rozkład geometryczny.Po-pchodna dystrybuanty F(x) rozkładu takiego typu jest wszędzie równa zeru z wyjąt-kiem skończonej lub przeliczalnej liczby punktów x1, x2,., w których funkcja F(x)jest nieciągła, przy czym+F(xk )-F(xk )=pk.Z równości tej widać, że P{�=x}=0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F(x)jest ciągła w punkcie x.Wykres dystrybuanty rozkładu dyskretnego (w przypadku,gdy wybudowanie wykresu jest możliwe) ma więc postać krzywej schodkowej (patrzrys.3.2).F(x)1p1+p2+p3p1+p2p10 x1 x2 x3 x4 xRys.3.2352.Rozkłady typu absolutnie ciągłegoDefinicja 6.Rozkład P� ZL � nazywa się absolutnie ciągłym, jeżeli dla dowol-nego zbioru borelowskiego B zachodzi równośćP�{B} = P{�" B} = (x)dx , (2)+"fB"gdzie f (x)e"0 , (x)dx=1.+"f-"Zauważmy, że w definicji 6 chodzi o ciągłość względem miary Lebesgue a.Je-żeli na przestrzeni mierzalnej R, B określona jest miara �, to rozkład P nazywa sięciągłym absolutnie względem �, jeżeli dla dowolnego B"B mamyP{B} = (x)�(dx).+"fBW tym sensie rozkłady dyskretne także są ciągłe absolutnie, ale względem miary li-czącej m.Istotnie, zakładając, że f (xk )=pk ,m(B)=liczba punktów ze zbioru (x1, x2,.) należących do B,mamyP{B}= = (xk )= (x)m(dx)."p "fk+"fxk"B xk"BBFunkcja f (x) w równości (2) nazywa się gęstością rozkładu ZL � albo gęsto-ścią ZL �.Z twierdzenia o rozszerzeniu miary (twierdzenie Caratheodory ego) lub z do-wodu twierdzenia 1 wynika, że definicja 6 ciągłości absolutnej jest równoważna wzo-rowixF�(x)= (u)du+"f-"dla dowolnych x"R.Dystrybuanty absolutnie ciągłych ZL także nazywają się abso-lutnie ciągłymi.Funkcja f (x) jest wyznaczona przez powyższe równości z dokład-nością do wartości na zbiorze miary 0.Dla niej prawie wszędzie (względem miaryLebesgue a) zachodzi równość f (x)=dF(x) dx.Wynika to ze znanego z teorii mia-ry i całki twierdzenia Radona Nikodyma.Niech X będzie przestrzenią z �-skończoną miarą � określoną na �-ciele S podzbiorów X,a �  dowolną �-addytywną funkcją określoną na S.Funkcją � nazywamy absolutnie ciągłąwzględem miary �, jeżeli �(A) = 0 dla dowolnego zbioru A"S , takiego że �(A) = 0.36Twierdzenie.Przeliczalnie addytywna funkcja � o wartościach skończonych określona na�-ciele S, jest ciągła absolutnie względem miary � wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego �>0istnieje takie �>0, że | �(A) | [ Pobierz całość w formacie PDF ]