[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.(4.17.14)3±0n J1(±0n) Rn=1Prezentowany problem w pierwszym rzÄ™dzie wyjaÅ›nia celowość zdobywania umiejÄ™t-noÅ›ci w obliczaniu  caÅ‚ek z funkcji Bessela (warto przyjrzeć siÄ™ bogatym tabelomtego typu caÅ‚ek; monumentalne kompendium Abramowitza z lat 60., czy też sÅ‚ynnetablice caÅ‚ek i sum Ryżyka i Gradsztejna poÅ›wiÄ™cajÄ… temu zagadnieniu caÅ‚e, osob-ne rozdziaÅ‚y).Wprawny Czytelnik potrafi zapewne napisać wzór (4.17.8) (i to jużz samÄ… funkcjÄ… kosinus) natychmiast.Same obliczenia współczynników C1n sÄ… jednakdość ciekawe, a koÅ„cowy wzór ma zwartÄ… i estetycznÄ… postać.Wreszcie warto zauwa-żyć, że pojawienie siÄ™ trzecich potÄ™g kolejnych zer funkcji J0 w mianownikach tychwspółczynników znakomicie dziaÅ‚a na zbieżność szeregu, a wÅ‚aÅ›ciwie  w praktyce pozwala nam zadowolić siÄ™ pierwszymi kilkoma wyrazami nieskoÅ„czonej sumy.Zerafunkcji Bessela rosnÄ… z odstÄ™pem, który praktycznie jest równy À (por.{4.87}).Pierw-sze dziesięć zer funkcji J0(x) podajemy w tabeli 4.17.1 (z dokÅ‚adnoÅ›ciÄ… do dwóch cyfrpo przecinku dziesiÄ™tnym).Wynika z niej na przykÅ‚ad, że odwrotność trzeciej potÄ™gipiÄ…tego zera jest dwieÅ›cie czterdzieÅ›ci razy mniejsza od odwrotnoÅ›ci trzeciej potÄ™gipierwszego zera.Dla dziesiÄ…tego zera analogiczny stosunek to przeszÅ‚o dwa tysiÄ…ce!BG AGHLegendre, Bessel i trochÄ™ fizyki 163PROBLEM 4.18Idealnie giÄ™tki Å‚aÅ„cuch (lina), o dÅ‚ugoÅ›ci L i gÄ™stoÅ›ci linio-wej µ, jest zawieszony za swój górny koniec wzdÅ‚uż osi 0z.A
ańcuch wykonuje  małe drgania w płaszczyz
nie pionowej,utworzonej przez oś 0z i poziomą oś 0x.Małość drgań pozwala wprowadzić następujące uproszczenia:(1) każdy punkt łańcucha porusza się poziomo, wzdłużosi 0x.Te wychylenia oznaczamy jako x(z, t);(2) wszystkie kąty, jakie tworzy styczna do łańcucha z osiąpionową, są na tyle małe, że  w zależności od potrzeby sinus i tangens takiego kąta są sobie równe i równemierze łukowej kąta;(3) naprężenie (napięcie)  fizycznie: siła styczna do łańcu-cha  jest, w danym punkcie, równa ciężarowi tej częściłańcucha która znajduje się poniżej; innymi słowy  ko-sinusy kątów, o których mowa w (2), przyjmujemy jakorówne jedności.Zapisz równanie ruchu łańcucha i rozwiąż go.Jako warunek brzegowy przyjmij zadany rozkład poziomychprędkości punktów łańcucha w chwili t = 0:"x(z, t = 0) a" G(z), a także fakt, że x(z, 0) = 0."tZanim zajmiemy się matematyką, pozwólmy sobie na małą dygresję historyczną.Pro-blem  kołyszącego się łańcucha rozwiązał, przeszło 250 lat temu, Daniel Bernoulli,znakomity szwajcarski matematyk i fizyk, syn również wybitnego matematyka Jana17.Daniel zajmował się bardzo wieloma zagadnieniami związanymi z, jakże istotnymiw ówczesnych czasach, problemami.żeglugi dalekomorskiej: ożaglowaniem i jegorozmieszczeniem, rozłożeniem ładunków w ładowni, kołysaniem się statków itp.Pro-blem łańcucha podjął, w dobre pięćdziesiąt lat po Bernoullim, sam wielki Leonhard17Por.http://www.ftj.agh.edu.pl/ 0.Pobocznica walca i obie jego podstawy są utrzymywanew stałej temperaturze Tp.Zakładamy:(1) temperatura walca nie zależy od czasu, rozważamy stanustalony "T/"t = 0;(2) temperatura walca zależy tylko od odległości r od osiwalca, tzn.T = T (r).Dodatkowo przyjmujemy, że"T/"r [ Pobierz całość w formacie PDF ]