[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.(4.17.14)3�0n J1(�0n) Rn=1Prezentowany problem w pierwszym rzędzie wyjaśnia celowość zdobywania umiejęt-ności w obliczaniu całek z funkcji Bessela (warto przyjrzeć się bogatym tabelomtego typu całek; monumentalne kompendium Abramowitza z lat 60., czy też słynnetablice całek i sum Ryżyka i Gradsztejna poświęcają temu zagadnieniu całe, osob-ne rozdziały).Wprawny Czytelnik potrafi zapewne napisać wzór (4.17.8) (i to jużz samą funkcją kosinus) natychmiast.Same obliczenia współczynników C1n są jednakdość ciekawe, a końcowy wzór ma zwartą i estetyczną postać.Wreszcie warto zauwa-żyć, że pojawienie się trzecich potęg kolejnych zer funkcji J0 w mianownikach tychwspółczynników znakomicie działa na zbieżność szeregu, a właściwie w praktyce pozwala nam zadowolić się pierwszymi kilkoma wyrazami nieskończonej sumy.Zerafunkcji Bessela rosną z odstępem, który praktycznie jest równy � (por.{4.87}).Pierw-sze dziesięć zer funkcji J0(x) podajemy w tabeli 4.17.1 (z dokładnością do dwóch cyfrpo przecinku dziesiętnym).Wynika z niej na przykład, że odwrotność trzeciej potęgipiątego zera jest dwieście czterdzieści razy mniejsza od odwrotności trzeciej potęgipierwszego zera.Dla dziesiątego zera analogiczny stosunek to przeszło dwa tysiące!BG AGH Legendre, Bessel i trochę fizyki 163PROBLEM 4.18Idealnie giętki łańcuch (lina), o długości L i gęstości linio-wej �, jest zawieszony za swój górny koniec wzdłuż osi 0z.Aańcuch wykonuje małe drgania w płaszczyznie pionowej,utworzonej przez oś 0z i poziomą oś 0x.Małość drgań pozwala wprowadzić następujące uproszczenia:(1) każdy punkt łańcucha porusza się poziomo, wzdłużosi 0x.Te wychylenia oznaczamy jako x(z, t);(2) wszystkie kąty, jakie tworzy styczna do łańcucha z osiąpionową, są na tyle małe, że w zależności od potrzeby sinus i tangens takiego kąta są sobie równe i równemierze łukowej kąta;(3) naprężenie (napięcie) fizycznie: siła styczna do łańcu-cha jest, w danym punkcie, równa ciężarowi tej częściłańcucha która znajduje się poniżej; innymi słowy ko-sinusy kątów, o których mowa w (2), przyjmujemy jakorówne jedności.Zapisz równanie ruchu łańcucha i rozwiąż go.Jako warunek brzegowy przyjmij zadany rozkład poziomychprędkości punktów łańcucha w chwili t = 0:"x(z, t = 0) a" G(z), a także fakt, że x(z, 0) = 0."tZanim zajmiemy się matematyką, pozwólmy sobie na małą dygresję historyczną.Pro-blem kołyszącego się łańcucha rozwiązał, przeszło 250 lat temu, Daniel Bernoulli,znakomity szwajcarski matematyk i fizyk, syn również wybitnego matematyka Jana17.Daniel zajmował się bardzo wieloma zagadnieniami związanymi z, jakże istotnymiw ówczesnych czasach, problemami.żeglugi dalekomorskiej: ożaglowaniem i jegorozmieszczeniem, rozłożeniem ładunków w ładowni, kołysaniem się statków itp.Pro-blem łańcucha podjął, w dobre pięćdziesiąt lat po Bernoullim, sam wielki Leonhard17Por.http://www.ftj.agh.edu.pl/ 0.Pobocznica walca i obie jego podstawy są utrzymywanew stałej temperaturze Tp.Zakładamy:(1) temperatura walca nie zależy od czasu, rozważamy stanustalony "T/"t = 0;(2) temperatura walca zależy tylko od odległości r od osiwalca, tzn.T = T (r).Dodatkowo przyjmujemy, że"T/"r
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
