[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.2 modelucechowania o grupie SU(n) i dubletem pól skalarnych, z ich pomocą można zbudować teorię cechowania o dowolnejzwartej grupie Liego i dowolną reprezentacją pól skalarnych.4.4 Równania pola.Otrzymamy teraz równania pola dla pól cechowania oraz pól materii w nieabelowych teoriach cechowania.Rozpatrzymyprzypadek prostej grupy cechowania i pola skalarnego, przekształcającego się według reprezentacji nieprzywiedlnej.Działanie dla takiego układu ma postać :S = SA + S� (4.49)Gdzie :SA = +" dx4 ( - � Fa�� Fa�� ) ; Fa�� = "� Aa� - "� Aa� + gCabc Ab� Ac� (4.50)SA = +" dx4 [ (D��) ( D��)  m2� �  � (� � )2 ] (4.51)D� � = "��  ig TaAa� � (4.52)Samooddziaływanie pola skalarnego wybraliśmy w najprostszej postaci (� � )2.Przyjmiemy, że Ta  to hermitowskie generatory w reprezentacji T.Na początku rozpatrzymy wariacje działania SA względem pól rzeczywistych Aa� , przyprowadzi nas ona do równań dlapola cechowania w przypadku braku pól materii.Otrzymujemy :�SA = +" dx4 ( - � Fa�� �Fa�� ) (4.53)gdzie :�Fa�� = "� �Aa� - "� �Aa� + gCabc Ab� �Ac� + gCabc �Ab� Ac�Zauważmy, że druga i czwarta składowa w powyższym wyrażeniu różnią się od pierwszej i trzeciej zamiana � �! � izamianą znaku.Wykorzystując ten fakt oraz antysymetrię tensora Fa�� względem indeksów �, � dla (4.53) możemy zapisać :SA = +" dx4 [ - Fa�� ( "� �Aa� + gCabc Ab� �Ac� ) ]Pierwszą składową możemy scałkować przez części, drugą przemianujemy indeksy a, b, c i wykorzystamy antysymetrięCabc.W wyniku tego otrzymamy :SA = +" dx4 [ "� Fa�� + gCabc Ab� Fc�� ] �Aa� (4.54)Skąd otrzymujemy równania dla pól cechowania bez materii :"� Fa�� + gCabc Ab� Fc�� = 0 (4.55)Przypominam, że tensor F�� przekształca się według dołączonej reprezentacji grupy cechowania.Dlatego pochodna kowariantna dla niego jest równa ( zobacz (4.47), indeksy lorentzowskie dla F�� nie są istotne ) :( D� F�� )a = "� Fa�� + gCabc Ab� Fc�� (4.56)Odpowiednio zatem równanie pola (4.55) możemy przepisać następująco :( D� F�� )a = 0 (4.57)Zauważmy, że lewa część tego równania przekształca się kowariantnie ( według reprezentacji dołączonej ) przyprzekształceniach cechowania.Równanie (4.57) i tożsamość (4.58) są to nieabelowe analogi równań Maxwella w elektrodynamice.Jednakże wodróżnieniu od równań Maxwella, równania nieabelowe (4.57) i (4.58) oprócz tensora natężenia zawierają równieżpotencjał wektorowy Aa� , jest to oczywiste z (4.56).Zauważmy również, że pochodna kowariantna (4.58) może byćzapisana w postaci macierzowej :D�F�� = "�F�� + [ A� , F�� ]gdzie : F�� = ig ta Fa��Rozpatrzmy teraz wariacje działania S� względem pól Aa�.Uwzględnimy przy tym to, że z (4.52) wynika, że :(D� �) = "�� + ig Aa� � Ta (4.59)tak więc :� ( D� �) = ig � Ta �Aa� (4.60)( przyjmujemy, że �  jest kolumną, a odpowiednio � - wierszem ; na � macierze hermitowskie Ta działająprawostronnie, ta więc (4.60) jest równaniem wierszowym )� ( D� �) = - ig Ta ��Aa�dlatego :�S� = +" dx4 [ ( D� �) ( -igTa �) + ig� Ta D� � ] �Aa�Wprowadzimy następujący prąd :ja� = - i [ � Ta D� � - ( D� �) Ta � ] (4.61)Wtedy :�S� = +" dx4 ( -g ja� ) �Aa�Po uwzględnieniu (4.54) otrzymamy to, że wymaganie równości zeru wariacji całkowitego działania ( SA + S� ) prowadzido równania pola cechowania w obecności pól materii :( D� F�� )a = g ja� (4.62)które jest analogiczne do równania Maxwella dla elektrodynamiki z polami materii.***************************************************************************************************Fragment 3[ Kwantowa teoria pola L.H.Ryder Cambridge University Press 1985 ]3.6 Geometria pól cechowania.Na początku przepiszemy wzór opisujący obrót izowektora w izoprzestrzeni o kąt � :� �! � = �  � � ����Zależność ta jest infinitezymalną formą prawa przekształcenia :� �! � = exp ( iI " � ) � (3.143)���gdzie I generatory macierzowe o postaci :przy czym, jak łatwo zauważyć ich elementy macierzowe wyrażają się w następujący sposób :( Ii )mn = -i �imn (3.145)gdzie : �imn  standardowy symbol Leviego-CivityRozkład zależności (3.143) względem potęg � daje ( względem powtarzających się indeksów prowadzimy sumowanie ):� m = (1 + i Ii �i )mn �n = ( �mn + �imn �i ) �n = �m  �imn �i �n = ( � - � � � )m- �- �- �co pokrywa się z (3.119).Niech teraz � zależy od x�.Zależność (3.143) zapiszemy obecnie w postaci :���� �! � = exp[ iI " �(x)] � = S(x) � (3.146)���Macierze I są reprezentacja generatorów grupy O(3) [ lub SU(2) ], a zatem, spełniają zależności komutacyjne o postaci :[ Ii , Ij ] = i�ijk Ik = Cijk Ik (3.147)Zależność ta utożsamia wielkości i�ijk ze stałymi strukturalnymi Cijk grupy SU(2) [ Pobierz całość w formacie PDF ]